1.1. В чем главное различие между случайными и систематическими погрешностями измерений?
Геодезические работы связаны с выполнением измерений различных величин — расстояний, превышений, углов и др. Результаты измерений всегда содержат некоторые погрешности. Погрешностью ? называют отклонение результата измерения l от истинного значения измеряемой величины Х.
? = l – Х (1.1)
Различают три основных вида погрешностей: случайные, систематические и грубые.
Грубые погрешности – необычно большие погрешности, вызванные небрежностью наблюдателя, неисправностью прибора или резким отклонением от нормы условий измерений. Результаты измерений, содержащие грубые погрешности, отбрасывают, бракуют.
Систематические погрешности – такие, которые при повторных измерениях остаются постоянными, или изменяются закономерным образом.
Причины и закономерности появления систематических погрешностей должны быть изучены, и сами погрешности исключены из результатов измерений путем введения соответствующих поправок, применением надлежащих методик измерений, юстировкой приборов.
Случайные погрешности – такие, которые при повторных измерениях изменяются случайным образом. Ни знак, ни значение случайной погрешности предвидеть невозможно. Поэтому невозможно исключить случайные погрешности из результатов измерений. Можно лишь при обработке измерений ослабить их влияние. Пути к такому ослаблению указывает теория погрешностей измерений.
Случайные погрешности обладают следующими основными свойствами:
— при определенных условиях измерений, случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;
— малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще, чем большие.
— положительные погрешности встречаются так же часто, как и отрицательные;
— среднее арифметическое из всех случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений n стремится к нулю, т.е.
, (1.2)
где [ ] – обозначение суммы.
Формула (2) выражает свойство компенсации случайных погрешностей. Этим свойством обладает и сумма попарных произведений случайных погрешностей
, (i, j = 1, 2, 3 … n; i ? j) (1.3)
1.2. Почему среднее арифметическое из результатов равноточных измерений является вероятнейшим значением измеряемой величины?
Рассмотрим на примере. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l1, l2, …, ln. Тогда их среднее арифметическое равно:
(1.4)
Из (1.1) следует li= Х + ?i (i = 1, 2, … n).
Поэтому напишем:
= X — .
Согласно формуле (1.2) с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.
1.3. Точность измерения каких величин оценивают абсолютной и относительной погрешностями? Как представляют относительную погрешность в геодезии?
Каждая погрешность в отдельности не может характеризовать точность измерений, поскольку она случайна. Общепринятой характеристикой точности является предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность:
, (1.5)
где ?1, ?2, …, ?n – случайные погрешности измерений.
Средняя квадратическая погрешность определения m по формуле (1.5) приближенно равна .
Вероятность того, что случайная погрешность превышает 2 m, равна 4,5%, а что она превышает 3 m — лишь 0,27%. Погрешности, больше 2 m (предельная погрешность), считают практически невероятными и относят к числу грубых погрешностей, промахов.
Величины D, m, Dпред, выражаемые в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями.
Относительные погрешности — отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительную погрешность принято выражать в виде простой дроби с единицей в числителе:
,
где l — значение измеряемой величины, а N – знаменатель дроби.
Относительные погрешности используют, когда точность результата измерения зависит от измеряемой величины. Так при одинаковой абсолютной погрешности двух измеренных линий точнее измерена та, длина которой больше.
1.4. Как определяют среднюю квадратическую погрешность функции измеренных величин? Ответ составьте на примере функции общего вида.
В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …
u = f (x,y,z…) (1.6)
Продифференцируем функцию (6) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями Du, Dx, Dy, Dz, ….
Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx, Dy, Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:
(i = 1, 2, …, n)
Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:
,
где квадратными скобками обозначены суммы.
Устремим число комбинаций в бесконечность (n ??) и, воспользовавшись выражениями (5) и (3), получим:
, , , , .
И окончательно
(1.7)
Квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.
Пример: Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:
u = k1 x + k2 y + k3 z …, где ki постоянные множители.
Теперь частные производные равны =k1, = k2, = k3.
Поэтому .