1.2.Кинематические соотношения при
криволинейном движении судна.
Из рис.1.1 видно, что величины Ψ, β, φ связаны очевидным соотношением:
Ψ = φ + β (4)
Дифференцируя соотношение (4) по времени, получим: .dtddtddtdβϕψ+= (5)
Из кинематики известно, что ;Ω=dtdψ ,RVdtd=ϕ откуда – dtdRVβ+=Ω (6) dtdβ мало по сравнению с первым членом ⎟⎠⎞⎜⎝⎛RV, поэтому в практических расчетах им часто пренебрегают, а для случая установившейся циркуляции равенство RV=Ω является точным.
До сего времени речь шла о ЦТ судна, однако, все размерные и безраз-мерные характеристики могут быть определены для любой точки судна.
По известным формулам Эйлера, для точки «а» имеем:
VXA = VX0 + ΏY; VYA = VY0 — ΏX.
Поскольку вектор угловой скорости имеет положительное направление, совпадающее с положительным направлением оси Ζ, для любой точки судна (i) можно записать:
VXi = VXG + ΏY; VYi = VYG – ΏX (7)
Угол дрейфа в произвольной точке судна (βi) определится по формуле: YVXVVVtgXGYGXiYiiΩ+Ω−==β (8)
Особый практический интерес представляет определение кинематиче-ских характеристик точек, лежащих на ДП судна. Для этих точек проекция угловой скорости на ось У равна 0 и можно записать: .0XGXGXGYGXGYGAVXtgVXVVVXVtgΩ−=Ω−=Ω−=ββ (9)
Из формулы видно, что угол дрейфа уменьшается при перемещении в нос (βА0<βG) и возрастает при перемещении в корму от ЦТ судна (βА0>βG).
На ДП судна или её продолжении имеется замечательная точка, в которой угол дрейфа обращается в нуль, т.е. направление мгновенного вектора скорости будет совпадать с направлением оси Х, (или ДП). Такая точка называется цен-тром вращения судна (в некоторых источниках она называется кажущимся или 8
мгновенным центром вращения, а также полюсом поворота), обозначаемым ЦВС. Абсциссу этой точки можно найти из выражения (9):
;0=Ω−=XGЦВСVXtgtgββ ХЦВС =GXtgVβΩ . (10)
Из формулы (10) видно, что Хцвс всегда положительна. При малых углах перекладки руля, в случае движения судна по пологим траекториям Хцвс >L, а при больших углах перекладки — Хцвс = (0,35 + 0,60)L.
Ориентировочно можно считать Хцвс = 0,4L. Расстояние между ЦТ и ЦВ судна приближенно равно GC = RβG (рис.1.2)
Рис.1.2 СGββ0kKOЦВС,ППЦВССG
При движении судна по криволинейной траектории проекция скорости на ось Х остается постоянной (VX= Const), а проекция на ось У будет увеличивать-ся по направлению к корме от ЦВС (рис. 1.2)
Если в результате натурного эксперимента или расчёта нам известны ки-нематические параметры криволинейного движения судна и их изменение во времени, то можно получить положение судна в плане на любой произвольный момент времени.
Координаты судна в неподвижной системе координат определяются сле-дующими соотношениями:
,00ϕVCosdtdXVX== ϕVSindtdYVY==00 (11)
X0 = Y∫tdtVCos0;ϕ0 = т.к. ∫
tdtVSin0;ϕ,dtdψ=Ω то Ψ= (12) .0∫Ωtdt
Используя вышеприведенные соотношения можно построить траекторию движения ЦТ судна и определять направление его диаметральной плоскости.
9
1.3. Уравнения движения судна.
В динамике твёрдого тела существуют два основных подхода к составле-нию уравнений движения, которые можно охарактеризовать как геометрический и аналитический.
Геометрический подход (основан на принципе Даламбера) к действую-щим на тело силам и моментам добавляют фиктивные усилия инерционного происхождения. В результате динамическая задача сводится к статической: — рассматривают равновесие тела под действием всех этих сил. Такой подход обладает наглядностью, но она быстро утрачивается при рассмотрении более сложных динамических систем.
Для сложных динамических систем более надежным является аналитиче-ский путь. При этом составляется выражение для кинетической энергии динамической системы, а фиктивные силы инерции в состав действующих сил не включаются. Наиболее удобный путь предложен ещё Г. Кирхгофом. Его суть заключается в том, что сначала рассматривают движение тела в идеальной жидкости без учета деформации свободной поверхности. В этом случае кине-тическую энергию масс жидкости и самого твёрдого тела удается выразить аналогичной квадратичной зависимостью от линейных и угловых скоростей. После этого вводится суммарная кинетическая энергия системы судно-жидкость, а в составе внешних сил учитываются только силы вязкостного и волнового происхождения. Уравнения движения получаются в результате при-менения аппарата аналитической механики.
Кинетическая энергия жидкости может быть выражена:
WЖ=0,5(λ11VX2 + λ22VY2 + λ66ΏΖ2 — 2λ26VXΏΖ) (13)
Кинетическая энергия судна определится:
WС= 0,5(mVX2 + mVY2+JZΩZ2) (14)
где: λ11, λ22 – присоединенные массы жидкости;
λ66 – момент инерции присоединенных масс;
λ26 – статический момент присоединенных масс;
m – масса судна;
JZ – момент инерции судна относительно вертикальной оси.
Присоединенные массы жидкости представляют собой реактивное сопро-тивление жидкости на все виды движения судна. Фактически это условные величины, вводимые для удобства определения кинетической энергии жидко-сти. Они характеризуют возмущаемую часть жидкости при движении тела относительно координатных осей. Присоединенные массы жидкости имеют размерность массы и их можно суммировать с массой судна.
Общая кинетическая энергия системы жидкость-судно равна:
WСЖ= 0,5{(m+λ11)VX2+(m+λ22)VУ2+(JΖ+λ66)ΩΖ2-2λ26VXΩΖ} (15)
Уравнения движения судна можно записать в векторной форме: ;*FPdtPd=Ω+ ((MPVKdtKd=+Ω+)*)*, (16)
где:P — вектор количества движения системы судно-жидкость;
K — вектор момента количества движения системы судно-жидкость;
10
Ω — вектор угловой скорости судна;
V — вектор линейной скорости судна;
F — главный вектор внешних сил, приложенных к судну;
M — вектор главного момента сил.
Составляющие векторов Р и К могут быть вычислены через кинетиче-скую энергию системы судно-жидкость по формулам:
РХ= ;XVW∂∂ РУ = ;YVW∂∂ РZ = ;ZVW∂∂ (17) ;XXWKΩ∂∂= ;YYWKΩ∂∂= ;ZZWKΩ∂∂= (18)
Для перехода к координатной системе раскрывают три векторных произ-ведения: ((()**)*);*PVKPΩΩ и проектируют векторные равенства (16) на оси координат системы, связанной с судном. Получим шесть уравнений движения судна. Однако в силу того, что рассматривается плоское движение судна и силы, могущие вызвать крен, дифферент и вертикальное перемещение судна отсутствуют, три уравнения обращаются в тождество вида 0 ≡ 0 и остаются три уравнения: XZZYXFVdtdV=Ω−Ω−2262211μμμ YZXZYFVddV=Ω+Ω+112622μμμ } (19) (ZZXYXYZMVVVdtdVdtd=Ω+−++Ω2611222666)μμμμμ
где: μ11= m+λ11; μ22= m+λ22; μ26= λ26; μ66= JZ+λ66 .
Поскольку для большинства морских судов углы дрейфа не превышают 10 – 15º , а максимальные угловые скорости поворота составляют 2-3º/сек, по-лучение уравнения можно упростить линеаризацией с точностью до третьего порядка малости и записать в параметрах V, β, ΩZ , получим следующую систе-му уравнений: ,226221111XZZFVdtdVdtdV=Ω−Ω+−λβμββμμ
2211μμ−ΩZV,26YZFdVd=Ω+λβ }(20)
((ZZZZMVVdtdVdtdJ=Ω+−−−Ω+26211222666))λβλλβλλ
Первое уравнение системы позволяет определить изменение скорости движения судна, для чего из двух других (второе и третье равенства системы) определяют значение угла дрейфа и угловой скорости.