Расчетно-графическое задание по математическим основам судовождения

Задание: 8/432
b=115°13.5’
A=72°38.2’
C=75°11.2’
Найти неизвестные элементы.

Решение косоугольных сферических треугольников.
Используем формулу катангенсов для нахождения сторон а и с, формулу косинуса угла для угла В.
ctg A?sin??C=ctg a?sin??b-?cos ???b?cos?C ? ? ?
cos??B=-cos??A?cos??C+sin??A?sin??C?cos?b ? ? ? ? ?
ctg C?sin??A=ctg c?sin??b-cos??b ?cos?A ? ? ?
a ?(?? ) ctg a=ctg A?sin?C/sin?b +ctg b?cos?C
?B?(?? ) cos???B=-cos??A?cos??C+sin??A?sin??C?cos?b ? ? ? ? ?
c ?(?? ) ctg c=ctg C?sin?A/sin?b +ctg b?cos?A

Исследуем рабочую формулу на знаки, подставляя знаки соответствующих функций сверху

ctg a=ctg A?sin?C/sin?b +ctg b?cos?C
ctg A?sin?C/sin?b =0.31268?0.96676/0.90464=0.33415
ctg b?cos?C= -0.47110?0.25567=-0.12044
ctg a=0.21371, a<90°?(?? ) a=77°56.2′?

cos??B=-cos??A?cos??C+sin??A?sin??C?cos?b ? ? ? ? ?
-cos??A?cos?C=-0.29843?0.25567=-0.07630?
sin??A?sin??C?cos?b ? ?=0.95443?0.96676?(-0.42617)=-0.39323
cos??B=-0.46953,B>90°?(?? )? B=118°00.2′

ctg c=ctg C?sin?A/sin?b +ctg b?cos?A
ctg C?sin?A/sin?b =0.26446?0.95443/0.90464=0.27902
ctg b?cos??A=-0.47110?0.29843=-0.14059?
ctg c=0.13843, c<90°?(?? ) c=82°7.1′

Проверка:
sin?a/sin?b =sin?A/sin?B =0.97792/0.90464=0.95443/0.88292
1.08100=1.08099

?
Геометрия земного сфероида
Задание: 17/4
?=81°08.3’
??=4.4’
Вычислить и сравнить элементы земных эллипсоидов Красовского и WGS-84.

Решение.
Вычислим вспомогательную величину W и радиус параллели
r=(a cos??)/?(1-?^2 ?sin?^2 ?)=(a cos??)/W,?(&)W=?(1-?^2 ?sin?^2 ?)
Красовского: ?^2=0.0066934, a=6378245
W=?(1-0.0066934?0.97627)=0.99672
r=(6378245?0.15405)/0.99672=985798 м?985.8 км
WGS-84: ?^2=0.0066945, a=6378137
W=?(1-0.0066945?0.97627)=0.99673
r=(6378137?0.15405)/0.99673=985775 м?985.8 км

Вычислим длину дуги параллели Р
Р=r???_рад=r???°?arc 1°=r???^’?arc 1^’, arc1^’=2?/(360??60?^’ )=1/3437.7468′
Красовского:
P=(985798?4.4′)/3437.7468’=1261.731 м?1262 м
WGS-84:
P=(985775?4.4′)/3437.7468’=1261.701 м?1262 м
?
Вычислим длину 1 минуты дуги параллели Р’
Красовского:
P’=(985798?1)/3437.7468=286.757 м?287 м
WGS-84:
P’=(985775?1)/3437.7468=286.750 м?287 м

Вычислим длину дуги экватора Р0
Р_0=a???_рад=a???°?arc 1°=a???^’?arc 1^’
Красовского:
P_0=(6378245?4.4′)/3437.7468’=8163.567 ?8164 м
WGS-84:
P_0=(6378137?4.4′)/3437.7468’=8163.429 ?8163м

Вычислим длину 1 минуты дуги экватора Р0’
Красовского:
P_0’=(6378245?1′)/3437.7468’=1855.3562 ?1855 м
WGS-84:
P_0’=(6378137?1′)/3437.7468’=1855.3248 ?1855м

Вычислим радиус кривизны меридианального сечения в точке с
?=81°08.3’
M=(a(1-?^2))/?(?(1-?^2 ) ?sin?^2 ?)?^3 =(a(1-?^2))/W^3
Красовского:
M=(6378245?(1-0.0066934))/?0.99672?^3 =6398306 м?6398.3 км
WGS-84:
M=(6378137?(1-0.0066945))/?0.99673?^3 =6397998 м?6398 км

Вычислим радиус кривизны нормального сечения в точке с ?=81°08.3’
N=a/W
Красовского:
N=6378245/0.99672=6399234 м?6399.2 км
WGS-84:
N=6378137/?0.99673?^ =6399062 м?6399.1 км

Вычислим длину морской мили ?’(1 минуты дуги меридиана) в заданной широте
?_1^’=M???_рад=M???^’?arc1^’,
??^’=1
Красовского:
?_2^’=1852.25-9.31?cos?2?
?_1^’=(6398306?1)/3437.7468=1861.1918=1861.2 м
?_2^’=1852.25-9.31??(-0.952538)???=1861.1181?1861.1 м?
WGS-84:
?_3^’=1852.22-9.32?cos?2?
?_1^’=(6397998?1)/3437.7468=1861.1022=1861.1 м
?_3^’=1852.22-9.32??(-0.952538)???=1861.0976?1861.1 м?

Вычислим значение приведенной широты u
tg u=b/a tg ?
Красовского: b=6356863 м
tg u=6356863/6378245?6.413938=6.39243687
u=81°06.5′
WGS-84: b=6356752 м
tg u=6356752/6378137?6.413938=6.39243296
u=81°06.5′
?
Расчет элементов дуги большого круга
Задание: 4552
?А=62°44.3’S
?А=87°32.6’E
?В=63°22.0’S
?В=73°38.5’E

Рассчитать элементы дуги большого круга.
Вычислим разность долгот
??=?_В-?_А=73°?38.5?^’ E-87°?32.6?^’ E=13°54.1’W
Выполним схематический чертеж

Найдем известные стороны сферического треугольника
(90°-?_А )=90°-(-62°?44.3?^’ S)=152°?44.3?^’;
(90°-?_B )=90°-(-63°?22.0?^’ S)=153°?22.0?^’
Введем расчетные формулы и решим сферический треугольник относительно неизвестных S_орт,А и В.
cos??S_орт=cos??(90°-?_A)?cos??(90°-?_B )+sin??(90°-?_A)?sin??(90°-?_B )?cos??? ? ? ? ? ?
cos??S_орт=-0.889?(-0.894)+0.458?0.448?? 0.971=0.994?(?? )S_орт=6.280°
S_орт=?376.775?^’?376.8 мили

ctg A?sin???=ctg(90°-?_B)?sin??(90°-?_A )-cos??(90°-?_A )?cos??? ? ?
ctg A=(ctg(90°-?_B)?sin??(90°-?_A )-cos??(90°-?_A )?cos??? ? ?)/sin???
ctg A=(-1.994?0.458-(-0.889)?0.971)/0.240=-0.208?(?? ) A=-78.250°
Согласно рисунку K_н=360°-(180°-78.250°)=258.2°
сtg B?sin???=ctg(90°-?_A)?sin??(90°-?_B )-cos??(90°-?_B )?cos??? ? ?
ctg B=(ctg(90°-?_A)?sin??(90°-?_B )-cos??(90°-?_B )?cos??? ? ?)/sin???
ctg B=(-1.941?0.448-(-0.894)?0.971)/0.240=-0.006?(?? ) B=-89.643°
Согласно рисунку K_k=360°-(180°-89.643°)=269.6°
?_ср=(?_А+?_В)/2=(62°?44.3?^’ S+63°22.0’S)/2=63°03.2’S
??=?_В-?_А=63°?22.0?^’ S-62°?44.3?^’ S=0°37.7’S
tg?(?/2)=sin???_ср ?/cos??(??/2) ?tg?(??/2)=0.891/1.0?0.122=0.108702
?/2=6.203807°?(?? ) ?=12.407615°?12.4°

Проверка: К_к=К_Н+?=258.2°+12.4°=270.6°
?
Определение места по двум линиям положения (аналитическое решение)
Задание: 21/25
?с=41°43.4’N
?c=68°34.2’W
Пc=25.8 По=29.1 Dс=31.5 Do=34.2 2 ор-р
Пc=64.0 По=63.5 Dс=28.2 Do=28.9 5 ор-р

Аналитическое решение.

Вычисление обсервованных координат. Расчетные данные сводятся в таблицу
?(№ @ор-ра)/U ?U g ? a=cos ? b=sin ? ?n=?U/g mU m_лп=m_U/g ????
2- П 3.3 1.82 295.8 0.435 -0.900 1.813 ±0.8 ±0.440 51.8?
5- D 0.7 1 244.0 -0.438 -0.899 0.700 ±0.289 ±0.289 128.2?

?U_2=?П_2=П_о2-П_с2=29.1-25.8=3.3°;
?U_5=?D_5=D_о5-D_c5=28.9-28.2=0.7 мили.
g_2=57.3/D_c2 =57.3/31.5=1.82°/милю; ?_2=П_с2-90°=25.8°-90°=295.8°.
g_5=1; ? ??_5=П_с5±180°=64.0°+180°=244.0°.
a_2=0.435, b_2=-0.900, ?n_2=1.813 мили;
a_5=-0.438, b_5=-0.899, ?n_5=0.700 мили;
Уравнения линий положения примут вид:
0.435???-0.900?W=1.813
-0.438???-0.900?W=0.700
D=a_2?b_5-a_5?b_2=0.435?(-0.899)-(-0.438)?(-0.900)=-0.785
D_??=??n?_2?b_5-??n?_5?b_2=1.813?(-0.899)-0.700?(-0.900)=-1.000
D_?W=a_(2?) ??n?_5-a_5???n?_2=0.435?0.700-(-0.438)?1.813=1.099
??=D_??/D; ?W=D_?W/D; ??=?W/cos??
??=(-1.000)/(-0.785)=1.274?+1.3′(N) ?W=1.099/(-0.785)=-1.400
??=(-1.400)/(cos?_c )=-1.876?-1.9′(W)
?_c 41°43.4’N ?_c 68°34.2’W
?? 1.3’N ?? 1.9’W
?_o 41°44.7’N ?_o 68°36.1’W

Оценка точности полученного места
Расчет выполняется с использованием счислимых значений градиентов навигационных параметров с точностью до 0.001.
m_П=?0.8° m_D=0.01?28.9=?0.289 мили
m_ЛП2=0.8/1.82=?0.440 мили m_ЛП5=0.289/1=?0.289 мили
|?? ??|=295.8°-?244.0°=51.8° ?=180°-51.8°=128.2°
a+b=1/sin?? ?(m_лп1^2+m_лп2^2±2?m_лп1 m_лп2 sin?)
a+b=1/0.786 ?(0.194+0.084+2?0.440?0.289?0.786)=0.880 мили
a-b=1/0.786 ?(0.194+0.084-2?0.440?0.289?0.786)=0.355 мили
2a=1.235 a=0.618=0.62 мили
2b=0.525 b=0.263=0.26 мили
m_ЛП2>m_ЛП5 m_ЛП2=m_(ЛП MAX) m_ЛП5=m_(ЛП MIN) ?^*=?_5
tg2?=|sin2?/((m_(лп max)^2)/(m_(лп min)^2 )+cos2?)|
tg2?=|sin2?/((m_(лп max)^2)/(m_(лп min)^2 )+cos2?)|=|(-0.972)/(0.194/0.084-0.235)|=0.469
2?=25.1° ?=12.6°
T_a=?^*±90°±?
T_a=244-90+12.6=166.6°

Радиальная (круговая)погрешность определения места
M=1/sin?? ?(m_лп1^2+m_лп2^2 )
M=1/0.786 ?(0.194+0.084)=0.671 мили

?
Определение места по двум линиям положения (графоаналитическое решение)
Задание: 31/46
?с=41°40.0’S
?c=69°00.0’W
Пc=333.0 По=335.2 Dс=33.5 Do=32.0 4 ор-р
Пc=277.0 По=276.0 Dс=35.7 Do=33.8 6 ор-р

Графоаналитическое решение.
Вычисление обсервованных координат. Расчетные данные сводятся в таблицу

?(№ @ор-ра)/U ?U g ? ?n=?U/g mU m_лп=m_U/g Р_лп=1/(m_лп^2 ) 2?
4- П 2.2 1.710 243 1.286 ±0.8 ±0.468 4.566 126
6- D -1.9 1 97 -1.900 ±0.338 ±0.338 8.753 194

?U_4=?П_4=П_о4-П_с4=335.2-333.0=2.2°;
?U_6=?D_6=D_о6-D_c6=33.8-35.7=-1.9 мили.
g_4=57.3/D_c4 =57.3/33.5=1.710°/милю; ?_4=П_с4-90°=333.0°-90°=243.0°.
g_6=1; ? ??_6=П_с6±180°=277.0°-180°=97.0°.
a_4=-0.454, b_4=-0.891, ?n_4=1.286 мили;
a_6=-0.122, b_6=0.992, ?n_6=-1.900 мили;

Выполним прокладку линий положения в масштабе 1 см-1 миля.

??=0.7’N ?W=?1.8?^’ W
??=1.8/0.747=?2.4?^’ W

?_c 41°40.0’S ?_c 69°00.0’W
?? 0.7’N ?? 2.4’W
?_o 41°39.3’S ?_o 69°02.4’W

Оценка точности полученного места
m_П=±0.8° m_D=±0.01?33.8=±0.338 мили
m_лп4=±0.8/1.71=±0.468 мили m_лп6=±0.338/1=±0.338 мили
Р_лп4=1/?0.468?^2 =4.566; Р_лп6=1/?0.338?^2 =8.753

Строим «полигон весов» в масштабе 1 см – 1 ед. веса.
С чертежа |q ? |=11.5 см=11.5 ед.веса
??P_лп =Р_лп4+Р_лп6=13.319
P_max=1/2 (???P_лп+|q ? | ?)=12.410? P?_min=1/2 (???P_лп-|q ? | ?)=0.910
a=1/?(P_min )=1.048; b=1/?(P_max )=0.284
В обсервованной точке строится эллипс погрешностей.

?
Определение вероятнейшего места по методу наименьших квадратов
Задание: 1/156
?с=36°20.0’S ?c=129°30.0’E
Пc=101.2 По=99.8 Dс=47.3 Do=50.5 1 ор-р
Пc=160.0 По=162.1 Dс=49.6 Do=51.3 5 ор-р
Пc=206.3 По=208.0 Dс=34.8 Do=34.0 6 ор-р

Аналитическое решение.
Промежуточные результаты расчета сведем в таблицу
№ ориентира- U 1 — П 5 — П 6 — П
?U -1.4 2.1 1.7
mU ±0.8? ±0.8? ±0.8?
g 1.211 1.155 1.646
? 11.2 70.0 116.3
a=cos?? 0.981 0.342 -0.443
b=sin?? 0.194 0.940 0.896
l=-?U/g 1.156 -1.818 -1.033
s=a+b+l 2.331 -0.536 -0.580
P_лп=(g/m_U )^2 2.291 2.084 4.233
paa 2.205 0.244 0.831 [paa]=3.28
pab 0.436 0.670 -1.680 [pab]=-0.574
pal 2.598 -1.296 1.937 [pal]=3.239
pas 5.239 -0.382 1.088 [pas]=5.944
pbb 0.086 1.841 3.398 [pbb]=5.325
pbl 0.514 -3.561 -3.918 [pbl]=-6.966
pbs 1.036 -1.050 -2.200 [pbs]=-2.214

?U=U_o-U_c;?(&)m_D=±0.01D_o;?(&)m_п=±0.8°
g_п=57.3/D_c ;?(&)g_D=1;?(&)?_п=П_с-90°;?(&)?_D=П_с±180°
Контроль результатов расчета дает
[paa]+[pab]+[pal]=[pas]=3.28-0.574+3.239=5.945
[pab]+[pbb]+[pbl]=[pbs]=-0.574+5.325-6.966=-2.215

Запишем систему нормальных уравнений
[paa]???+[pab]??W+[pal]=0
[pab]???+[pbb]??W+[pbl]=0
с рассчитанными коэффициентами
3.28???-0.574??W=-3.239
-0.574???+5.325??W=6.966
Система решается с помощью определителей
??=Д_??/Д;?(&)?W=Д_?W/Д
где Д=[paa][pbb]-[pab]^2 ?(&)Д_??=[pbl][pab]-[pal][pbb]
Д_?W=[pal][pab]-[pbl][paa]
Д=3.280?5.325-?0.574?^2=17.136
Д_??=-6.966?(-0.574)-3.239?5.325=-13.249
Д_?W=3.239?(-0.574)+6.966?3.280=20.989
??=-0.773?-?0.8?^’ S;?(&)?W=1.225′?1.2′ E
??=?W/cos???_c ? =1.2/0.806=1.489′?1.5′ E
?_c 36°20.0’S ?_c 129°30.0’E
?? 0.8’S ?? 1.5’E
?_o 36°20.8’S ?_o 129°31.5’E

Рассчитаем вспомогательную величину q и параметры эллипса погрешностей
q=?(([paa]-[pbb])^2+4[pab]^2 )
a=?(([paa]+[pbb]+q)/2Д);?(&)b=?(([paa]+[pbb]-q)/2Д);
tg 2T_a=2[pab]/([paa]-[pbb] );?(&) sin??2T_a=-2[pab]/q?;cos??2T_a=-([paa]-[pbb])/q?

q=?((3.28-5.325)^2+4??(-0.574)?^2 )=2.345
a=?((3.28+5.325+2.345)/(2?17.136))=0.565?0.56 мили
b=?((3.28+5.325-2.345)/(2?17.136))=0.427?0.43 мили
tg 2T_a=(2?(-0.574))/(3.28-5.325)=0.561
sin??2T_a=-(2?(-0.574))/2.345=+0.490?
cos??2T_a=-(3.28-5.325)/2.345=+0.872?
Следовательно, угол 2T_a лежит в ? четверти. 2T_a=29.292°?(?? T_a=14.646°?14.6°)

Графоаналитическое решение
Промежуточные результаты расчета занесем в таблицу
?n=?U/g; m_лп=m_U/g; Р_лп=1/(m_лп^2 );? P?_ij=P_лпi?P_лпj??sin?^2 ?
?(№ @ор-ра)/U ?U g ? ?n ij ???? mU m_лп Р_лп 2? Pij
1 — П -1.4 1.211 11.2 -1.156 1-5 ?(58.8/58.8) ±0.8? 0.661 2.291 22.4 3.495
5 — П 2.1 1.155 70 1.818 1-6 ?(105.1/74.9) ±0.8? 0.693 2.084 140 9.040
6 — П 1.7 1.646 116.3 1.033 5-6 ?(46.3/46.3) ±0.8? 0.486 4.233 232.6 4.611
???P_лп=8.608? ???P_ij=17.146?
Рассчитаем веса вершин фигуры погрешностей P_ij
P_15=P_1?P_5?sin^2???=2.291?2.084?0.732=3.495?
P_16=P_1?P_6?sin^2???=2.291?4.233?0.932=9.040?
P_56=P_5?P_6?sin^2???=2.084?4.233?0.523=4.611?
Выполним прокладку линий положения в масштабе 2 см = 1 миля и проверим значения углов ? между линиями положения.

Снимем с прокладки приращения координат в принятом масштабе
??_15 ?=-1.75?^(‘?(&)) ?W_15 ?=2.5?^’
??_16 ?=-1.25?^(‘?(&)) ?W_16 ?=0.45?^’
??_56 ?=0.9?^(‘?(&)) ?W_56 ?=1.6?^’

Рассчитаем вероятнейшие координаты:
??=(???(P_ij???_ij)?)/(??P_ij );?(&?W=(???(P_ij??W_ij)?)/(??P_ij );?(&??=?W/(cos?? )))
??=(3.495?(-1.75)+9.040?(-1.25)+4.611?0.9)/17.146=-?0.777?^’?-0.8’S
?W=(3.495?2.5+9.040?0.45+4.611?1.6)/17.146=1.177′?1.2’E
??=1.177/0.806=1.460’E?1.5’E
?_o=?_c+??;?(&)?_o=?_c+??

?_c 36°20.0’S ?_c 129°30.0’E
?? 0.8’S ?? 1.5’E
?_o 36°20.8’S ?_o 129°31.5’E

Строим «полигон весов» в масштабе 1 см – 1 ед. веса.

С чертежа |q ? |=2.5 см=2.5 ед.веса

Расчитаем веса эквивалентных линий положения
P_max=1/2 (???P_лп+|q ? | ?)=?((8.608+2.5)/2=5.554&)
P_min=1/2 (???P_лп-|q ? | ?)=(8.608-2.5)/2=3.054
Вычислим полуоси эллипса погрешностей
a=1/?(P_min )=0.572;?(&)b=1/?(P_max )=0.424

?
Список литература
Кожухов В.П., Григорьев В.В., Лукин С.Н. Математические основы судовождения. М.: Транспорт, 1993. – 208 с.
Скворцов м.И. Математическая обработка и анализ навигационной информации. – Владивосток: ТОВВМУ, 1988. – 188 с.
Кузьмин А.К. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Математические основы судовождения». – Владивосток: ДВВИМУ, 1990. – 35 с.

Рассказать друзьям

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники

Добавить комментарий

Найти готовую работу